网络流--概念篇
网络流——概念篇
网络
网络表示一个有向图（可能有环），\(G=(V,E)\)
每条边 \((u,v)\in E\)都有一个权值\(c(u,v)\)，称之为容量，对于$(u,v)E \(，均有\)c(u,v)=0$
其中有两个点：
\(s\in V\) 源点（没有入度）
\(t\in V\) 汇点（没有出度）
流
设 \(f(u,v)\)定义在二元组 \((u\in V,v\in V)\)上的实数函数且满足
- 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即，\(f(u,v)\le c(u,v)\)
- 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即 \(f(u,v)=-f(v,u)\)
- 流守恒性：从源点流出的流量等于汇点流入的流量，即 $xV-{s,t}, {{(u,x)E}}f(u,x)={{x,vE}}f(x,v) $
那么 f 称为网络 G 的流函数。对于 \((u,v)\in E\)，\(f(u,v)\)称为边的流量，\(c(u,v)-f(u,v)\)称为边的剩余容量。整个网络的流量为 ，\(\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)\)即 从源点发出的所有流量之和。
一般而言也可以把网络流理解为整个图的流量。而这个流量必满足上述三个性质。
注：流函数的完整定义为：
\(f(u,v)=\left\{\begin{aligned} &f(u,v),&(u,v)\in E\\ &-f(v,u),&(v,u)\in E\\ &0,&(u,v)\notin E,(v,u)\notin E \end{aligned}\right.\)
网络流的常见问题
网络流问题中常见的有以下三种：最大流，最小割，费用流。
最大流
我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的最大流问题。
最小费用最大流
最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。
最小割
割其实就是删边的意思，当然最小割就是割掉 X 条边来让 S 跟 T 不互通。我们要求 X 条边加起来的流量总和最小。这就是最小割问题。
残量网络
首先我们介绍一下一条边的剩余容量 \(cf(u,v)\)，它表示的是这条边的容量与流量之差，即 \(cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)\)。
对于流函数 \(f\)，\(G_f\)残量网络是网络 G 中所有结点 和剩余容量大于 0 的边构成的子图。形式化的定义，即 \(G_f=(V_f=V,E_f=\left\{(u,v)\in E,c_f(u,v)>0\right\})\)。
注意，剩余容量大于 0 的边可能不在原图 G 中（根据容量、剩余容量的定义以及流函数的斜对称性得到）。可以理解为，残量网络中包括了那些还剩了流量空间的边构成的图，也包括虚边（即反向边）。
增广路
在原图 G 中若一条从源点到汇点的路径上所有边的剩余容量都大于0这条路被称为增广路。
或者说，在残量网络 \(G_f\) 中，一条从源点到汇点的路径被称为增广路。
参考：OI WIKI