网络流——最大流算法dinic
Date:2023.1.9
过程
整体来说，dinic 是不断 bfs分层+dfs增广 的过程
bfs分层
每个点的 层数 即为它到源点的最短距离，源点的 层数 为 0
通过它，我们可以发现：
1.当汇点没有 层数 时，算法结束
2.当每次搜索只搜比当前点 层数 多一的点，我们找到的肯定是最短增广路
至于怎么分......
不会有人不会吧
dfs增广
先看一些变量：
\(s：源点,t：汇点，ans：最大流\)
\(c：边的容量\)
\(f：边的流量\)
\(sum：一次dfs的流\)
运用分层，我们可以轻易的找到最短增广路
从起点开始，每次往下进行搜索，只搜比当前 层数 多一的点，且管道的 \(c>f\)
当搜到 t 点，结束 dfs ，继续分层
两个优化
1.多路增广
该优化可让你一次搜到多条增广路
思路
当你从某个点回退到上一个点时，若该点 \(流量>0且还有其他可走路径\)
那我们就考虑对其再进行 dfs
2.当前弧优化
该优化可帮你避免不必要的搜索
思路
我们知道，当一条边 \(c=f\) 时，他就没有用了
这时，我们可以考虑避免对这些边的搜索，把头指针指向下一条边就可以了
同时，对于一次 dfs，它搜过的边不会再搜第二次，我们运用这个更新指针数组
bfs 要更新指针数组
时间复杂度：\(\color{orange}O\left(N^2M\right)\)（运用两个优化后）
特别说明：该复杂度是理论上限，一般会更小
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
| #include<bits/stdc++.h>
#define min(x,y) (x<y?x:y)
using namespace std;
const int M=120005,N=1205;
int n,m,s,t;
int tot,to[N*4],nt[N*4],tmp[N*2];
long long f[N*4],c[N*4];
int cur[M*4];
void add(int x,int y,int u,int uu){
to[++tot]=y;
nt[tot]=tmp[x];
tmp[x]=tot;
c[tot]=u;
f[tot]=uu;
}
int qe[N*2],head,tail,dep[N];
bool vis[N];
bool bfs(){
for(register int i=1;i<=N;i++) vis[i]=0;
head=tail=0;
dep[s]=0;
qe[++tail]=s;
vis[s]=1;
cur[s]=tmp[s];
while(head<tail){
int x=qe[++head];
for(register int i=tmp[x];i;i=nt[i]){
int u=to[i];
if(!vis[u]&&c[i]>f[i]){
dep[u]=dep[x]+1;
cur[u]=tmp[u];
vis[u]=1;
qe[++tail]=u;
}
}
}
return vis[t];
}
long long dfs(int x,int l){
if(x==t||l==0) return l;
long long sum=0,ll=0;
for(register int i=cur[x];i;i=nt[i]){
int u=to[i];
cur[x]=i;
if(dep[x]+1==dep[u]&&c[i]>f[i]){
ll=dfs(u,min(l,c[i]-f[i]));
if(ll>0){
f[i]+=ll,f[i^1]-=ll;
sum+=ll,l-=ll;
if(l==0) break;
}
}
}
return sum;
}
long long ans=0;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
s=1,t=m;
int x,y,z;
for(register int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
if(x!=y){
add(x,y,z,0);
add(y,x,0,0);
}
}
while(bfs()) ans=ans+dfs(s,0x3f3f3f3f);
printf("%lld",ans);
return 0;
}
|
参考：oi-wiki
