网络流——最大流算法EK
Date:2023.1.9
简介
EK 算法，即 Edmonds-Karp 动能算法，是求解最大流的基本算法。
反向边
反向边 是帮助程序能发现更优解
例：
---->A---->B---->
发现了一条 增广路
但后面发现：
---->C---->B---->
---->A---->D---->
这样比原方案更优
所以要建立一条 反向边，B---->A，让流过去的水能够流回来
下面讲一下建 反向边 方式：
链式前向星（链表）
在添加 正向边 时，也把 反向边 给添加（容量为0）。
这样对于第 i 条边的 反向边 是 \(i\oplus 1\)（编号请从偶数开始存，虽然奇数也不会错（玄学））
邻接矩阵
这难道还要我说？
过程
整体来说，就是一个不断 bfs+增广 的过程
为了方便讲解，我们在此定义一些变量：
s：源点,t：汇点，ans：最大流
c：边的容量
f：边的流量
l：点的流量
bfs
每次从源点出发，进行搜索，若寻找到t，结束 bfs 进行增广。
假设现在我们要从 x->u
1.先判断能不能，即 u 是第一次搜到 且 该边的 \(c>f\)
2.更新 \(l_u\)，不难得出，\(l_u=min(l_x,c-f)\)
3.记录该边
注意，此时不能直接更新流量，因为不确定该增广路的最大可流流量。
所以要记录该边，等发现增广路后再反跑更新。
4.遇到 t 后，跳出 bfs（找到一条增广路就跳出）
增广
反跑增广路
经过 l 在 bfs 里不断刷新，\(l_t\) 即为该增广路的最大可流流量
所以正向边流量+\(l_t\)
但因为反向边容量为 0，我们把反向边的容量记为负的（实际是正的，但不影响结果）
即反向边流量-\(l_t\)
\(ans+=l_t\)
最后
在我们不断跑 bfs、增广、bfs、增广......
若一次 bfs 后，\(l_t=0\)，说明 增广路 已被找完，跳出循环
时间复杂度：\(\color{orange}O\left(nm^2\right)\)
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| #include<bits/stdc++.h>
#define M 120005
#define N 1205
using namespace std;
int n,m,s,t;
int tot=1,to[M*8],nt[M*8],tmp[M*4];
int pre[N*2],ppre[N*2];
long long ans,f[M*8],c[M*8];
int qe[N*2],head,tail;
int l[N*2];
long long min(long long aa,long long bb){
return aa<bb?aa:bb;
}
void add(int x,int y,int u,int uu){
to[++tot]=y;
nt[tot]=tmp[x];
tmp[x]=tot;
c[tot]=u;
f[tot]=uu;
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
int x,y,z;
for(register int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z,0);
add(y,x,0,0);
}
while(1){
memset(l,0,sizeof(l));
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(ppre,0,sizeof(ppre));
head=tail=0;
qe[++tail]=s;
l[s]=0x3f3f3f3f;
while(head<tail){
int u=qe[++head];
for(register int i=tmp[u];i;i=nt[i]){
int uu=to[i];
if(!l[uu]&&c[i]>f[i]){
pre[uu]=u,ppre[uu]=i;
l[uu]=min(l[u],c[i]-f[i]);
qe[++tail]=uu;
}
}
if(l[t]) break;
}
if(!l[t]) break;
for(register int i=t;i!=s;i=pre[i]){
f[ppre[i]]+=l[t];
f[ppre[i]^1]-=l[t];
}
ans+=l[t];
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
|
参考：oi-wiki
